Você terá uma única chamada a new, que ficará na parte interna da classe do seu Singleton.
Há muita discussão sobre se é ou não correto o uso de singletons.
O principal uso é gerenciar recursos limitados. O colega deu um exemplo: geralmente as aplicações possuem um (e apenas um) repositório de dados. Ou então, se você desenvolver uma classe que gerencia a placa de som, não vai querer várias instancias dela por aí (pois você geralmente só tem um hardware de som).
Existem pessoas que usam o Singleton como um repositório de constantes globais. Ok, embora você certamente possa fazer isso, não significa que você deva. Constantes globais são um problema e disfarça-las de Singleton não vai te ajudar em nada.
No C++, os singletons ainda tem outra característica interessante. Como não precisamos passar a referência de um singleton nos construtores, métodos e não precisamos guarda-lo em nenhum atributo, também não precisamos importa-lo no .h. Seu uso (e importação) fica restrito somente no .cpp. Isso permite ao compilador perder muito menos tempo em recompilações caso a classe do Singleton seja alterada.
Devido a algumas características da linguagem Java (na verdade, de todas as linguagens com Garbage Collection ou que rodem de maneira distribuída), o Singleton é largamente substituído por Depency Injection.