Colombina, vou te ajudar no primeiro exercício, pois nesse você tentou resolver, se eu te ajudar nos outros então estarei resolvendo para você.
Segue alguns comentários do seu código.
Primeiramente recomendo a fazer um for para o usuário preencher todos os valores do vetor, e outro que irá correr todo o vetor em busca do menor valor.
Linha 23: Se todos os 20 valores digitados pelo usuário forem maiores que 20 então seu programa nunca entrará nesse if. O mais correto seria não iniciar nenhuma valor para num e adicionar esse comando na linha 23
if ( ( vet[i] < num ) || (i == 0)) // Se vet[i] for menor que num OU i for igual a 0
Ou seja, o comando for irá percorrer todo o vetor, na primeira iteração do comando for, ou seja, quando i for igual a 0 a variável num irá receber o primeiro valor do vetor, não importa se ele é o menor ou não, pois nas próximas iterações do comando for o i não será igual a 0, então o if irá testar se o índice atual do vetor é menor que o primeiro valor dele, ou se é menor que o valor que era o menor…
Linha 25: Não entendi direito o uso do método min, não teria que ser usado Math.min? De qualquer jeito esse método não é necessário no algoritmo, se o comando if, linha 23, for verdade, ou seja, for encontrado num número menor que num, ou for a primeira iteração do comando for então o menor valor será salvo na variável num, e o valor de i, que corresponde ao índice atual do vetor, ou seja, a sua posição, deverá ser salvo em uma outra variável. Então uma outra variável, que guardará a posição do menor valor deverá ser criada.
Ou seja, o trecho de código ficará assim:
// Comando for onde o usuário irá preencher todo o vetor
for(int i=0;i<20;i++){
vet[i]=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("Preencha o vetor:"));
}
// Comando for que irá percorrer todo o vetor em busca do menor valor
for(int i=0;i<20;i++){
if( (vet[i] < num) || (i == 0)){
num = vet[i];
posicao = i; // Variável que irá guardar a posição do menor valor
}
}
INTÈ!