Primeiro passo. Saber a fundo J2SE e depois partir para J2EE?

Na minha opinião o mais importante é:

1 º Saber utilizar o Google.
2 º Se caso a empresa onde você trabalhe seja proibida utilização de
Internet, então a 1ª Opção seria saber ler a própria API Java. (Claro
que a API é a mais importante tendo ou não Internet)
3 º Listas de discussões e Forum Java

Na minha opinião é o principal.

Do Java SE, eu acho que voce deve conhecer bem o pacote java.lang (wrappers, threads etc), java.util (coleções, manipulacao de datas/numeros), java.io (streams, arquivos), java.sql (banco de dados com jdbc) e java.net (sockets).

Claro que o SE tem muito mais coisa, mas isso é o que eu acho que um bom estagiario deve conhecer ou pelo menos se virar no Google se precisar dessas coisas.

Agora para mim o mais importante mesmo se eu fosse contratar um estagiario (alguem que ainda vai aprender trabalhando), eram conhecimentos muito bons de Orientação a Objetos. Não só conhecer os conceitos mas ter um bom senso OO para ter uma noção para modelar sistemas (embora isso em geral fique na mão de alguem mais experiente).

Saber Java SE ajuda a entender muitas coisas no Java EE e também Java ME.

Assim como já citado acima, saber usar um mecanismo de busca para encontrar o que precisa é obrigatorio.

Também não deixe de ter como sua aliada a API do Java SE.

Abraços.