Deixa eu viajar um pouco também, mas a respeito de um post da primeira página:
Agora imagina um átomo(núcleo com neutrons e elétrons girando em volta dele), e imagina o sistema solar(sol e planetas girando ao seu redor). São bem parecidos.
Lembro de um livro do Adam Scott(criador do Dilbert) em que ele comparava o sistema solar como um átomo de um grão de areia de uma outra realidade maior.
Rafael, o existencialista.
Voltamos a nossa programação normal.
A verdade é que o mundo é binario, um ou zero, vivo ou morto, não existe segundo lugar! - Antitrust (2001)
Desculpe, não resisti! 
[quote=marcelomartins]A verdade é que o mundo é binario, um ou zero, vivo ou morto, não existe segundo lugar! - Antitrust (2001)
Desculpe, não resisti! :)[/quote]
fora isso… eh aquela historia da metafisica. eh chamado de charlatao aquele que tenta explicar o mundo de alguma maneira. a pergunta filosofica correta eh: eh possivel explicar o mundo de tal maneira?
por exemplo, atraves da razao: atraves da razao, o quao longe eh possivel chegar?
ainda no caso da razao (que eu conheco melhor, nao conheco teologia a fundo), tem aquelas teorias que mostram que tem coisas que existem mas nao sao possiveis de provar.
[quote=Rafael Nunes]Deixa eu viajar um pouco também, mas a respeito de um post da primeira página:
Agora imagina um átomo(núcleo com neutrons e elétrons girando em volta dele), e imagina o sistema solar(sol e planetas girando ao seu redor). São bem parecidos.
Lembro de um livro do Adam Scott(criador do Dilbert) em que ele comparava o sistema solar como um átomo de um grão de areia de uma outra realidade maior.
Rafael, o existencialista.
Voltamos a nossa programação normal.[/quote]
Esse aí era o “modelinho do Rutherford”.
Um dos pilares da ciência moderna, a Navalha de Ockham, existe para explicar isso. Algumas coisas são melhores se não provadas, a matemática, logo a computação, é cheia disso.
Mas naoe ra a questao de ser melhor ou nao. So de ser impossivel de provar. Que uma logica formal fechada (algo do genero, nao elmbro direito) leva a um sistema que possui perguntas que nao podem ser respondidas atraves da logica. Nao eh que nao quer, nao deve. Eh impossivel.
A matemática possui um monte de axiomas, verdades ou coisas que não são provadas e apenas se assume que são oque são. Acho que a geometria é a campea nessa area, por sinal.
O principio da navalha vale sim, Guilherme, para esses casos, onde não existir prova é uma explicação melhor que qualquer prova que possam dar.
foi contra isso que comentei.
Tem que separar bem:
A ideia que voce comentou eh justamente um dos ramos da ingenuidade. cai no charlanismo. querer falar que a matematica eh a realidade do mundo ou o contrario eh bobeira. Eh a mesma discussao que existe a centenas de anos e com as mesmas variacoes de respostas. O argumento se a matematica eh baseada em pensamentos existentes a priori ou nao. Se vem de definicoes axiomaticas ou nao eh a mesma lenga lenga.
Foi ai que quis cortar. A discussao do nao-charlatao, eh aquela que discute o quao longe um ponto de vista chega e nao se eh verdade ou nao.
Uma vez que a matemática sem baseia em axiomas, que são coisas que simplesmente acreditamos, tem origem na filosofia. Nada além de formalismo filosófico.
Back, a questão nem é tanto essa , pois a suposta inconsistência numa teoria para se aplicar outra, na verdade é um fato muito positivo.Prova que evoluímos , que houve uma dinâmica no nosso saber sobre um assunto.Se amanhã, por exemplo, eu chego e invento uma teoria que
colocasse á prova as de Newton e Einsten, isto não faria Einstein , muito menos Newton, menos brilhantes , mas apenas mostraria que ocorreu uma evolução num dado campo.Eles o foram no tempo próprio(devido).A mentira de hoje pode ser a verdade de amanhã(e vice-versa).
Louds e Guilherme , acho que o máximo da matemática é que ela se aplica a todas as coisas , uniformes(ou não).Exatas ou não.Mas ela se dah melhor quando as outras ciências(Física , Química , Biologia) podem usá-la para comprovar(e reforçar) as suas.Escapando do campo da Teoria , fica difícil de refutar.Exemplo disso é o exemplo bem lembrado pelo Bush(o Modelo de Rutheford), que se baseava no modelo planetário para isso. Até translação(rotação em torno de seu próprio eixo ) um elétron executa , e quando o átomo ganha energia,ele salta de sua camada mais externa , e quando perde, volta a original.O mesmo ocorre com pequenos corpos no espaço(as chamadas luas planetárias, que no caso , ganham/perdem massa), podendo (ou não) ficarem mais atraídos por outros de maior massa .Nesse caso, a geometria funciona bem para demonstrar isso.
Sinceramente , não creio em não-resposta para qualquer postulado(pergunta) que seja.O que existe é a não-visão de alguns.Matemática é a java.lang.Object do mundo.Todos a extendem(ainda que implicitamente) e dela dependem. 
Para podermos desenvolver a Matemática, precisamos partir de algumas “verdades prévias”, como definições (introduzir símbolos e nomenclaturas novos ajuda a reduzir textos), axiomas (“que propriedades deve ter uma operação de adição ou multiplicação?”) e postulados (aquelas afirmações que parecem dogmas). A partir destas “verdades prévias” (que, em geral, são poucas), obtemos (quase) todas as outras por meio de demonstrações (proposições, lemas, teoremas…).
Existem ponto, reta e plano.
Numa reta, e fora dela, existem infinitos pontos.
Por um ponto, e fora dele, passam infinitas retas.
E por aí vai…
Eu prefiro o livro “Prime Obsession” que fala do desafio dos números primos.
É simples assim: Descubra uma função que te diz quantos números primos há de 1 a N e ganhe 1 milhão de dólares.
Os matemáticos de todo o mundo tentam resolver essa questão a 200 anos. Uns indianos chegaram bem perto há alguns anos atrás.
Esse problema já foi resolvido ???
Sergio, o problema deve ser outro, porque esse possui solução desde a época dos gregos. A não ser com a restrição de não poder verificar todos números, nesse caso é um problema em aberto.
Os indianos provaram que é possivel verificar se um número é primo em tempo polinomial (valor prático disso = 0).
Vc consegue calcular na força bruta, mas não há formula direta para te dizer quantos números primos há de 1 a N, ou há ???
Os indianos, até onde eu li, descobriram uma fórmula para dizer se um número N é primo ou não. Não foi isso ???
[quote=saoj]Vc consegue calcular na força bruta, mas não há formula direta para te dizer quantos números primos há de 1 a N, ou há ???
[/quote]
Depende muito, você pode usar vários atalhos e truques para precisar testar somente alguns números por algumas propriedades. Mas uma hora ou outra vai precisar fatorar algum número e esse problema é considerado P-Espaço Dificil.
Mas as duas formas naturais de resolver esse problema, que seria usa a série dos primos e enumerar todos entre 1 e N; ou usar a formula geral de densidade de primos para o intervalo.
Como ambas são desconhecidas e não se sabe se existem ou não, não existe solução direta.
Isso já existe desde a época dos gregos, você deve ter visto na faculdade o crivo de Eratosteles. Os indianos demonstraram um algorítmo determinístico e polinomial para o teste de primalidade. Os demais até então eram exponenciais ou probabilísticos.
O que eu sei é que sem contar todos os primos na força bruta (= crivo de Eratosteles) , ou sem utilizar uma das diversas fórmulas que te dão um valor aproximado (= x / (log x - 1) ), não há uma fórmula direta (ninguém até hoje descobriu uma) para calcular quantos números primos há entre 1 e N.
Não existe fórmula direta, até hoje, que te diz rapidamente quantos números primos há entre 1 e N.
Até pouco tempo atrás, também não existia uma fórmula rápida e precisa para dizer se N era primo ou não, ou seja, essa pergunta estava no universo NP, e era resolvida com algoritimos genéticos, redes neurais, fórmulas aproximadas e força bruta mesmo.
Aí dois indianos chegaram e descobriram a solução estava em P, isto é, tinha uma solução direta.
http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
O problema agora é descobrir como fatorar rapidamente um número inteiro N. Por exemplo 18 = 2 x 3^2 mas para fazer a mesma coisa com 108234293847234234333 o tempo é gigantesco.
Se alguém descobre isso, quebra o algoritmo de criptografia RSA, que é o mais utilizado hoje na Internet, ou seja, bye bye e-commerce.
Sergio, uma coisa nao tem a ver com a outra: descobrir uma forma rapida de fatorar numeros nao quer dizer que o RSA vai ser quebrado do dia pra noite. Vai ficar mais facil e rapido quebrar o RSA por forca bruta, sim, mas como todo metodo de forca bruta, leva tempo e, pra tamanhos de chaves grandes, MUITO tempo. Supondo que esse achado torne a coisa 10x mais rapida, voce passa de “decadas” pra “meses”, mas ainda assim, ‘bye bye e-commerce’ foi forcar a barra.
Algumas correções. Teste de primalidade era feito e continua sendo feito usando métodos probabilísticos, Lucas-Lehmer por exemplo, nada de
“algoritimos genéticos, redes neurais, fórmulas aproximadas e força bruta mesmo”.
Hoje o algorítmo de fatoração inteira mais eficiente, o NFS, executa em tempo 
em relação ao tamanho da entrada, onde c, para o caso geral é 
.
Com esse algoritmo já é possivel quebrar chaves RSA fracas (512bits, ainda se acha certificados SSL usando essas) com pouco dinheiro e tempo, algo como um mes e um milhão de dolares em hardware.
O atual récorde é 576bits e levou 5 meses para um grupo de 11 pesquisadores no segundo semestre de 2003.
Se eu tenho uma forma rápida de fatorar números inteiros grandes, eu consigo chegar na chave privada a partir de qualquer chave pública !!!
Hoje o método mais eficiente, que é o NFS como o Louds falou, demora 6 meses com 100.000 máquinas em paralelo para fatorar uma chave pública de 768 bits. Vejam esse FAQ muito interessante:
http://www.rsasecurity.com/rsalabs/node.asp?id=2094
Se alguém descobre um jeito rápido de fazer isso, vai ganhar um dinheiro. Só a RSA oferece 200 mil dólares pela fatoração completa de uma chave de 2048 bits. Pelo método NFS é praticamente impossível fatorar um número de 2048 bits com a capacidade de hardware atual.
[quote=saoj]O problema agora é descobrir como fatorar rapidamente um número inteiro N. Por exemplo 18 = 2 x 3^2 mas para fazer a mesma coisa com 108234293847234234333 o tempo é gigantesco.
Se alguém descobre isso, quebra o algoritmo de criptografia RSA, que é o mais utilizado hoje na Internet, ou seja, bye bye e-commerce.[/quote]
Espere até o computador quântico se tornar realidade (não deve demorar muito…). Ele vai poder fazer este tipo de coisa num instante (se não me engano, já existem até algoritmos para manipulação de números primos gigantescos, só esperando o computador quântico ficar pronto).