Vou supor que, no seu caso que não funcionou, você gerou o arquivo de deploy (.war) e subiu o servidor com esse arquivo… se for o caso, voce deve checar no Eclipse quais arquivos estão sendo exportados para o WAR, há uma aba chamada "Order and Export" dentro da janela de configuração do Build Path (clique sobre o projeto, Build Path -> Configure Build Path), nela você pode "obrigar" alguns arquivos que serão exportados com o seu projeto.
Nesse caso, voce deve marcar o driver do mysql, pois caso ele não esteja marcado, o seu Tomcat irá procurar nas pastas "padrão" (exemplo C:\Tomcat6\libs\ ) pelo driver, e como você não o tem, vai dar pau.
No Eclipse funciona, pois quando o servidor sobe através dele, o Eclipse adiciona as pastas do projeto ao Build Path automaticamente, ou seja, ele busca os .jars nas pastas do Tomcat E do projeto.
Mas o correto, creio eu, é ter os jars "básicos" como esse do mysql já na pasta do Tomcat, pois é algo comum para todas as aplicações que irão usar um banco de dados MySQL, e se você "obrigar" o seu projeto à exportar o jar do mysql, pode dar conflito pois existirão dois arquivos semelhantes sendo carregados em memória.
Acho que deu pra entender, se não deu, pode perguntar o que você não entendeu. E se eu falei algo errado, por favor me corrijam, pois eu estou falando isso por experiencia, minha explicação não foi baseada em teoria, quer dizer, aprendi isso "apanhando" também! 
