Dark_Creator, bom dia.
Em resposta aos seus questionamentos vamos por partes.
Bem o servidor Apache Tomcat é apena um ‘SERVLET CONTAINER’ ou seja ele apenas dá suporte as APIS JSP e Servlet. Sendo assim sua instalação já possui todas a bibliotecas necessária para rodar estas api´s. Após a instalação e rodar o script de startup.sh ou startup.bat (tudo depende da plataforma operacional de PC) tende ir até o browser e acesse o endereço http://localhost:8080/ ou se preferir que dá na mesma http://127.0.0.1:8080/.
Pronto ai está o tomcat rodando, siga as instruções de cadastro de usuário e navegue pelos exemplos.
O MySQL pode rodar completamente separado do servlet container (TOMCAT) sendo que um independe do outro para ser executado, sua aplicação que irá trabalhar com o MySQl através de JDBC ou Hibernate.
Sim existe sim e é muito boa o MySQL GUI TOOLS(do proprio fabricante do MySQL) uma suite completa de ferramentas visuais, que podem ser adequiridas gratuitamente no site do MySQL www.mysql.org
Ver manul do MySQL pois agora não lembro como starta-lo via linha de comando e como configurar as variáveis de ambiente para o mesmo.
Espero ter ajudado, e pessoal se falei alguma coisa errada favor corrigir pois tbm sou iniciante no mndo JAVA.
Um Bom dia a todos e boas festas.
Que Buda Ilumine seus caminhos.
