Ajuda

String str = JOptionPane.showInputDialog("Type the word");
int index = -1;

// aqui é procurado um último espaço contido na "String" e o índice desse espaço 
// é armazenado na variável "index" 		
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
      if (str.charAt(i) == ' ')
 	 index = i;
}

// imprime a "String" original 		
System.out.println(str);

// imprime letra por letra só que começando do (índice + 1) que levará
// na última palavra
for (int i = index + 1; i < str.length(); i++)
     System.out.print(str.charAt(i));

import java.util.Scanner;

public class UltimaPalavra {
	public static void main(String [] args){
		//criando o leitor do teclado
		Scanner leitor = new Scanner(System.in);
		
		System.out.println("Digite uma frase qualquer:");
		
		//o leito le uma frase completa
		String frase = leitor.nextLine();
		
		//se a frase for diferente de null e nao for em branco entra no if
		if(frase != null && frase.trim().length() > 0){
			/*
			 * metodo que retira os espacos em branco dos extremos da frase
			 * eh um erro muito comum dos programadores
			 */
			frase = frase.trim();
			
			/*
			 * utilizando expressao regular para quebrar a frase nos espacaos em branco
			 * assim pegamos palabra por palavra
			 */
			String [] palavras = frase.split("\b+");
			
			//pegando a ultima palavra do "vetor" de palavras
			System.out.println("a ultima palavra eh: "+palavras[palavras.length - 1]);
		}
		else{
			System.out.println("Voce nao digitou uma frase!");
		}
	}
}

import java.util.Scanner;

public class UltimaPalavra {
   public static void main(String [] args){
      //criando o leitor do teclado
      Scanner leitor = new Scanner(System.in);
		
      System.out.println("Digite uma frase qualquer:");
		
      //o leitor le uma frase completa e nunca retorna null. 
      //Então removemos os espaços no início e no fim usando o trim(). 
      String frase = leitor.nextLine().trim();
		
      //A frase pode ser vazia, caso seja, vamos dar um erro e cair fora.
      //como estamos dando return, podemos evitar o o else e a identação.
      if(frase.sEmpty()){
         System.out.println("Voce nao digitou uma frase!");
         return;
      }

      /*
      * vamos pegar o índice do último espaço.
      * em seguida tiramos o substring de tudo que vier após ele
      */
      int ultimoEspaco = frase.lastIndexOf(' ');
      String palavra = frase.substring(ultimoEspaco+1);
			
      //impressão da última palavra
      System.out.println("a ultima palavra eh: "+palavra);
   }
}