Aviso no JPanel

Crie um JLabel em branco e na hora de carregar o programa execute um Método que verifica se existem Seguros vencidos, e se existe preenche o Jlabel com eles!

Seria Isso?

Eu recomendo fazer isso em outra thread

E também acho melhor criar outra tela para mostrar os vencidos…
e quando abre o sistema, abre essa outra tela na frente.

assim que eu fazia com avisos de contas a pagar / receber e compromissos

Então, postaria abrir outra tela quando entrasse tem um exemplo de como faço isso

crrie outra janela… e no construtor da janela atual:

MinhaJanelaComAvisos jan = new MinhaJanelaComAvisos();
jan.setVisible(true);