Como chamar alguns métodos somente depois que a tela principal ficar visível?

Isso é um JFrame? Se sim, uma opção é você sobrescrever o método setVisible do seu JFrame estendido, exibindo a mensagem quando ele for chamado. Não esqueça de chamar o setVisible da classe pai, senão seu JFrame não aparecerá.

Algo como:

public class JFrameEspecial extends JFrame{

  public void setVisible(boolean b) {
        super.setVisible(b); // chama o setVisible do parent
        JOptionPane.showMessageDialog(null, "Aqui vai sua mensagem");
        // faz outras coisas, se quiser.
    }
}

Referência: https://stackoverflow.com/questions/22713093/how-to-listen-for-visible-property-of-window-in-swing-awt

Abraço.

Muito obrigado, TerraSkilll, funcionou perfeitamente e agora ficou muito mais bonito!