Como chamar jquery dentro de um servlet via ajax?

Front-end
#1

Boa noite, o que eu quero fazer é mostrar uma div que na pagina que chama o servlet esta escondida com o metodo .hide(), e quando o servlet for chamado via ajax esta div seja mostrada com o metodo .show() sem sair da pagina(por isso o ajax).
minha pagina jsp que chama o servlet:

<%@ page language="java" contentType="text/html; charset=ISO-8859-1"
    pageEncoding="ISO-8859-1"%>
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=ISO-8859-1">


        <script src="http://code.jquery.com/jquery-1.9.1.min.js"></script>
        <script>
            $(document).ready(function() {    
                $('#erro').hide();
                $('#submit').click(function(event) {  
                    var username=$('#user').val();
                	$.get('ActionServlett',{user:username},function(responseText) { 
                        $('#welcometext').text(responseText);         
                    });
                });
            });
        </script>
</head>
<body>
    <form id="form1">
<h1>AJAX Demo using Jquery in JSP and Servlet</h1>
Enter your Name:
<input type="text" id="user"/>
<input type="button" id="submit" value="Ajax Submit"/>
<br/>
<div id="welcometext">
</div>
</form>
    <div id="erro" style="position: absolute; top:0; left: 30%; width: 45%; height: 50%; background-color: crimson;"/>
</body>
</html>

ignorem aquela div welcome text e aquela funçao do submit.click pois esta é uma funçao que tava testando que funciona muito bem ela pegao nome que eu digito no jsp e envia para o servlet via ajax e o ajax devolve o nome digitado, é so uma funçao pra testar como funciona o ajax pois o meu problema é outro.Aqui vai o servlet:

 protected void doGet(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response)
            throws ServletException, IOException {
       String name=null;
	//	name = "Hello "+request.getParameter("user");
	//	if(request.getParameter("user").toString().equals("")){
	//	 name="Hello User";
	//	}
		response.setContentType("text/html");  
                response.getWriter().write(name); 
                PrintWriter out = response.getWriter();
                out.println("<script type="text/javascript">");
                out.println("$('erro').show();");
               out.println("</script>");


                
    }

eu nao sei se o erro esta nestes out.println ou se estou esquecendo algumas coisas mas a pagina nao esta interpretando estes codigos html, ela devolve o nome digitado como esperado sem dar refresh na pagina justo como eu queria mas ela devolve o codigo como forma de texto exemplo:
eu digito joao no jsp e clico no botao submit, o formulario enviapara o servlet via ajax normalmente e evolve o nome joao mas fica assim:
joao
enquanto que eu so queria que ele devolvesse o nome joao e mostrasse a div que esta escondida, entao minha pergunta é:
é possivel chamar uma funçao jquery dentro de um servlet para alterar o estado de um ou mais componentes do jsp que o chamou?

estou precisando muito saber isso entao se souberem, por mais complicado que seja me digam por favor ou se tiverem um tutorial mesmo que extenso pode ser em ingles me passem que o resto eu me viro, so vim aqui como ultima opçao pois ja tentei de tudo e nao consegui nao achei nenhum tutorial que possa ajudar.
agradeço desde ja

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