Quero aprender como gero arquivo war no eclipse e onde coloco dentro do diretório do tomcat para poder levar para outras máquinas e testar o sistema?
No Eclipse, em seu projeto web vá em "Export>war file". Ou usando um build do ANT.
Respondendo a outra metade da pergunta, depois de gerar o war como o Roger75 falou, você deve entrar no administrador do tomcat, ir no gerenciador de aplicativos e no final da página haverá um form para você fazer um deploy de um arquivo war, é só apontar o war gerado que o resto o tomcat faz.
Em alguns casos você pode jogar o arquivo .war direto na pasta /webapps dentro da pasta do Tomcat.