Gostaria de saber se tenho como criar uma classe java que faça a conexão com o banco de dados e nos meus servlets eu a chamo toda vez que precisar fazer esta conexão.
Bem, utilizarei extends para chamá-la nos meus servlets?
Se o problema for fazer a conexão no banco de dados, você pode dar uma lida no tutorial aqui do GUJ http://www.guj.com.br/java.artigo.7.1.guj.
Agora você não precisa fazer herança não, uma dica é você declarar seu objeto Connection como static. Você pode usar um pool de conexão também (procure no fórum que existem vários comentarios sobre ele), você pode deixar o Objeto Conection na Session do Usuário, etc etc etc
pcalcado
Vale lembrar que raramente você vai ter um bom motivo para conectar um servlet ao banco de dados.