Conexão com o banco de dados ( JDBC - Postegresql )

Você só pode usar algo dentro de um método estático se:

• Foi passado como parâmetro
• Foi declarado dentro do método
• É estático
• Foi criada uma instância do objeto onde este elemento (atributo/método) existe

Qualquer situação diferente disso, não irá funcionar.

“Mas por que isso?”.
Simples, você possui métodos (e atributos) da classe e do objeto. Tudo o que contém a palavra reservada static pertence à classe (obviamente, estará acessível para seus objetos).
Além disso, tudo o que é estático é carregado no momento em que a classe é colocada (imagina que seja isso) no ClassLoader.

Mas quando eu coloquei dentro do Main, não funcionou apareceu um aviso de erro, aí tinha que fazer outras coisas lá que eu não entendi direito

Pode usar assim:

import Ultilitarios.Conexao;

public class Programa {

    private static Conexao conexao = new Conexao();

    public static void main(String[]) args) {
        conexao.conectar();
    } 

}

Ou o seu método conectar ser estático (static):

public static void conectar() {
       /* executa o método */
}

Acho que você embaralhou ali no primeiro código, ali em “private static Conexao”, não seria “conectar” e dentro do Main não seria “conectar.conexao();”?

Criei uma variável estática do tipo Conexao, instanciei e chamei o método conectar.

Ou apenas faria o import e chamaria o método caso já fosse estático.