Converte o texto para número.
cliente.setCpf(Integer.parseInt(txtCpf.getText()));

Mas lembre-se de validar se a sua string é mesmo um número ou isso vai lançar uma NumberFormatException.

Mais uma coisa: o ideia não é salvar como número no seu banco de dados pois há CPF que começa em 0.

o CPF [telefone removido] será salvo como [telefone removido] no seu banco de dados (o que é um valor totalmente diferente)

Entendi a questãod o banco de dados e irei fazer estas validações. Tentei realizar o parse agora e o java esta em retornando uma Exception

Exception in thread "AWT-EventQueue-0" java.lang.NumberFormatException: For input string: "[CPF removido]"
	at java.lang.NumberFormatException.forInputString(NumberFormatException.java:65)
	at java.lang.Integer.parseInt(Integer.java:580)
	at java.lang.Integer.parseInt(Integer.java:615)

O código com o Parse ficou o seguinte

ClienteDAO dao = new ClienteDAO();
       
       Cliente cliente = new Cliente();
       cliente.setNome(txtNomeCliente.getText());
       cliente.setSobrenome(txtsobrenomeCliente.getText());
       cliente.setEmail(txtEmail.getText());
       cliente.setCpf(Integer.parseInt(txtCpf.getText()));
       cliente.setTelefone(Integer.parseInt(txtTelefone.getText()));
       cliente.setEndereco(txtEndereco.getText());
       
        try {
            dao.salvar(cliente);
        } catch (ClassNotFoundException ex) {
            Logger.getLogger(PrincipalFrame.class.getName()).log(Level.SEVERE, null, ex);
        }
    }

O erro pode estar sendo ocasionado por causa da mascara colocada no txtField?
Primeiro CRUD que tento fazer, desculpe se alguma pergunta soar idiota.

CPF não pode ser campo inteiro.
Um CPF pode começar com zero e tipos númericos não tem zeros à esquerda.

Eu tentei converter para um double mas também deu um erro, nesse caso eu uso o Tipo String mesmo tanto no banco quanto no Java, ou teria algum outro jeito de fazer a conversão?

Pôxa, double também é um tipo numérico.
Um CPF não é um campo numérico, pois ele pode começar com zero.
Um CPF é String.