[DUVIDA] Linkar peças de xadrez - JavaFX

Não entendi de fato qual é a sua dificuldade.
Em java você pode usar as referencias dos Objetos instanciados.
Criar seus próprios Eventos.
Se você isolar o problema, talvez fica mais facil ver a dificuldade.
Cada projeto tem seus desafios.

O que você quis dizer com isso

Se o programa em javaFX já está movimentando as peças no tabuleiro, entende-se que esteja rodando.

Realmente essa a minha duvida, usar essa referencia já dentro das peças no JavaFX. Não consegui encontrar uma maneira de “setar” cada peça pra sua classe.

Mas seu programa está rodando ?

Sim, no console, em outra classe feita, está funcionando tudo.
Exemplo: https://i.imgur.com/bjIivM1.jpg

Mas o problema é na grafica, no HBox ou no ImageView, como setar a instruções de cada peça, para se comportar como deve.

Então o problema esta na parte grafica do javaFX.
Bom, vou passar algumas dicas
1 - Pensa em camadas as Layers

StackPane sp = new StackPane();
        Pane pane1 = new Pane();
        Pane pane2 = new Pane();
        sp.getChildren().addAll(pane1, pane2);
        StackPane.setAlignment(pane1, Pos.TOP_LEFT);
        StackPane.setAlignment(pane2, Pos.TOP_LEFT);

// faça usa do MouseTransparent nas camadas que voce for usar
pane1.setMouseTransparent(… );

2.Obtenha tutoriais de javaFX para saber como usar os Controls.

3.Sua duvida é muito genérica. Talvez seja um programa um pouquinho complexo para quem inicia em programação.

4.Bons Codigos