Quando se trabalha com Applets, poucas vezes se escreve um método novo. Como sua classe estende Applet, todos os métodos e atributos são herdados, o que já permite um programa funcional.
Lembre-se que o navegador é o responsável por chamar a JVM e controlar o Applet. Levando isso em conta e pensando no ciclo de vida de um Applet podemos listar os métodos herdados:
init() - chamado quando se cria um Applet e esse é carregado.
start() - chamado toda vez que a execução de um Applet é retomada (após minimizar e restaurar, por exemplo).
stop() - ocorre quando o Applet sai de vista da tela (janela minimizada, por exemplo).
destroy() - quando a página com o Applet é abandonada.
paint(Graphics) - responsável por desenhar na área do Applet. No caso, escreve a String “Hello, Applet World” na posição 100, 25 do Applet.
Sugiro que leia a documentação da classe Applet e para trabalhar com o pacote java.swing crie classes que estendam JApplet.