Erro de Lógica ou Detalhe do Java

Vamos começar pelo começo.
Já ouviu falar em teste de mesa? Visualg? Ajudaria muito neste caso.
Quando vamos comparar valores, tentando identificar o maior e o menor do grupo, sempre temos que iniciar as variáveis de uma maneira que elas não interfiram no resultado.
Agora me responda, se você tivesse os valores 1, 3, 5, 6 e 9, qual deles seria menor que o valor que você pré definiu nas variáveis menorXXXXXX???

Ah, isso vale para o maior.

Segundo, você não construiu o exercício da maneira correta, de acordo com o enunciado.
O enunciado diz para montar a matriz e não ir tentando adivinhar de acordo com o que o usuário insere, no momento em que ele insere.
Isso significa que você teria que ter, ao menos, um outro laço de repetição externo, para percorrer os índices das linhas (encontrando a 2 e a 7) e para iterar sobre cada coluna, identificando os valores contidos em cada ponto (linha, coluna). Aí sim, os cálculos são realizados.

Darlan, os números não são passados por alguém e sim pelo Math.random de 0 a 9; no primeiro if, eu pergunto ao Java, se o for estiver na posição 4 do i e 0 do j, faça a variável menor pegar o valor dessa posição e o maior também.

Entendi.
Ainda assim, o enunciado, que você mesmo colocou, tem o seguinte texto:

Neste caso, eu não aceitaria uma resposta como você está montando.
Funciona? Sim, mas onde você montou a matriz? Ela só existe até você ler os dados e depois?

Eu também trocaria os & por && pra deixar o código mais limpo.
Do jeito que tá, parece que está fazendo um E aritmético e não um E lógico.

Concordo plenamente com o @staroski.

Com relação à matriz, ela é uma estrutura que nós, de forma leiga, acabamos por imaginar espacial (como um quadro ou um cubo).
Na realidade, ela não possui um formato definido, a sua construção visual só existe para nos dar a ideia de como um vetor de 10 posições pode conter, em cada posição, outro vetor.

Mas, caso queira uma montagem “adequada”, sugiro usar algo assim, após criar a matriz, este código pode imprimí-la num formato amigável:

for(int i = 0; i < numeros.length; i++) {
    for(int j = 0; j < numeros[i].length; j++){
         System.out.print(numeros[i][j] + "\t");
    }
        System.out.println("");
}

Basicamente, o código acima vai imprimir o conteúdo de cada linha, separados por tab e, depois, pular para a próxima linha. Isso tornará a visualização da matriz simples e parecida com o que aprendemos.

E, sim, altere teus & por &&.

Bom dia. Agradeço aos colegas e estou satisfeito com suas prestezas.
O que me deixa boiando é que nem eu, nem os colegas acham os erros de lógicas.
Outro problema que encontrei é que na maior parte do tempo, esse código, já deixado mais limpo, inclusive, funciona perfeitamente, mas em algumas vezes, ele pega posições da linha 0, tanto para o for feito para a linha 5 (posição 4 do i), quanto para o for feito pra linha 7 (posição 6 do i).
Parece que o Java tem, no mínimo, algumas regras para muitos if aninhados, mas que não me citaram até agora ou tem algumas limitações.

Não, não existe mesmo.
Com relação a erros de lógica, apenas o tempo te permitirá olhar e identificar os mesmos.
Porém, eu faria o seguinte, para as análises:

int maior5 = -1, maior7 = -1, menor5 = [telefone removido], menor7 = [telefone removido];//Não validei, talvez o int não aceite tantos 9

for(int i = 0; i < numeros.length; i++){
    for(int j = 0; j < numeros[i].length; j++) {
        if(4 == i) {
            if(maior5 < numeros[i][j]) {
                maior5 = numeros[i][j];
            }
            if(menor5 > numeros[i][j]){
                menor5 = numeros[i][j];
            }
        }
        //Faz o restante aqui
    }
}

O código acima ainda pode ser melhorado, por exemplo, você só precisa das linhas 4 e 6 (5 e 7 na visão normal). Portanto, não precisa de dois fors aninhados, pode partir direto para:

for(int i = 0; i < 10; i++){
    int val5 = numeros[4][i];
    int val7 = numeros[6][i];
}

Entendeu?

Outra coisa, os operadores lógicos &, &&, | e || têm funções bem distintas.

&&      Conditional-AND
||      Conditional-OR

Enquanto que

&       Bitwise AND
|       Bitwise inclusive OR

Ou seja, quando se utiliza & ou | sozinhos, você compara em nível de bits, creio que não seja o caso, não é mesmo?

P.S: Achei, tem que fazer a mesma coisa com as variáveis de posições:

maiorPosI = k;

maiorPosJ = l;

menorPosI = k;

menorPosJ = l;

Anteriormente:
Certo. Entendi suas dicas do menor e maior e com relação aos operadores.
Igual ao seu código, no meu também tem o if(i == 4) para que ele seja executado, só enquanto estiver na linha 4, além de eu ter exigido que ao entrar na primeira posição (i == 4 && j == 0), as variáveis menor e maior peguem essa posição, só que no final, em algumas execuções, ele pega valores de outras linhas.

Não, o if é que nem o Brasil, não há regras!
Talvez você tenha um erro de compilação se aninhar mais de 65535 if's num mesmo método, mas nunca testei.