O que seria persistência de objetos em banco de dados?

Seria armazenar os dados de um objeto, de forma que se consiga recuperar depois.
É comum utilizar banco de dados pra isso, porém os dados estão dispostos em forma de tabelas, enquanto em Java os dados estão dispostos em formas de objeto.
Para trabalhar com esses dois tipos de disposição de dados é comum utilizar ferramentas de ORM, como o Hibernate e o TopLink. Mas é possível fazer esse trabalho manualmente, montando querys SQLs e executando com JDBC.

Além de banco de dados é possível utilizar outras maneiras de persistir um dado, como gravar em arquivo, entre outras formas.