Olá. Por favor, não coloque tags inúteis no título dos seus tópicos, tais como [DÚVIDA] ou AJUDA. Todos sabemos que os tópicos se referem as duas coisas. Acho que já te pedi isso outras vezes, não?
O primeiro passo para publicar uma aplicação é contratar um serviço de hospedagem. Existem alguns bons serviços, como o da UOL que você citou, ou o da Kinghost, que uso no Ponto V e recomendo. Muitos provedores de serviço oferecem para registrar para você o domínio, mas geralmente isso é fria. Eles irão registrar em nome deles, e você pode ter problemas em reaver seu domínio caso queira trocar de hospedeiro, sem falar que muitos irão cobrar muito mais caro do que se vc registrar diretamente. Ao escolher um serviço de hospedagem, certifique-se que:
a) Eles tem bom suporte (atendimento nos finais de semana, feriados, etc);
b) Eles tem instalado a versão do PHP que você precisa;
c) Eles tem suporte ao banco de dados que você precisa.
Você pode querer outros requisitos como backups, espelhamento, redundância… mas tudo vai deixando o sistema cada vez mais caro.
O segundo passo é registrar o domínio. Isso você faz de maneira rápida, fácil e barata no endereço: http://registro.br/
Para registrar o domínio, você precisará já ter os endereços dns de seu serviço de hospedagem em mãos. Basta localizar um endereço livre, escolher por quantos anos você quer registrar e pagar o boleto. Pode levar até dois dias para que seu site seja visto após o registro, então não se desespere. A internet funciona através de uma série de roteadores conectados, e a informação de que as tabelas de registro mudaram pode demora esse tempo para trafegar pela rede.
Finalmente, envie os arquivos do seu site via FTP para a pasta pública do local de sua hospedagem e seja feliz. 