Saudações amigos,
Gostaria de saber qual é o local correto de se fazer uma conexão com um BD dentro de um servlet (em que método)! Ouvi falar que o correto é o init() porém a conexão deve ser do tipo persistente, oque é isto?
Sem mais, agradeço antecipadamente. 
O melhor lugar para se implementar a conexão com o banco de dados são os javabeans ou, se você estiver usando, enterprise java beans. Se você estiver usando arquitetura MVC, como o servlet é um elemento de controle, é meio "fora da teoria" colocar essas conexões nele.
Quanto a colocar as conexões no init, realmente, só se elas forem persistentes - isto é, não fecharem por timeout ou qualquer outro motivo fora do seu controle. E isso vai depender, julgo, da configuração do seu banco de dados (não sei se dá pra fazer programaticamente).
Olá,
Se vc quiser dar uma olhada em uma estrutura que usa padrão MVC, com um Servlet como controlador e um Java Bean para conexão de Banco de dados, dá uma olhada em:
http://www.portaljava.com:8082/JDBC/