TextArea no Centro?

Você tem que trabalhar com layout de sua aplicação, ai vai duas soluções:

1- panel.add(objetoTextArea, BorderLayout.CENTER);

ou

2- panel.setLayout(null);

objetoTextArea.setBounds(alinhaEsquerdo,alinhaTopo,comprimento,largura);

panel.add(objetoTextArea);

Explicando:

no item 2 vc seta o layout da sua aplicação como nula então utiliza o metodo setBounds para posicionar o seu objeto na tela onde vc quiser, muito bom se vc for trabalhar com muitos objetos na tela.

Espero ter ajudado.

Hey!Cole seu textarea no seu panel, e depois adicione por exemplo, seu panel a um jframe e é só fazer com o JFrame:

Que ficará centralizado.