Transição de uma aplicação desktop com banco local para banco remoto

Boa Tarde

Tenho uma aplicação desktop que faz acesso ao banco de dados H2 em modo embarcado, porém, preciso alterar a forma como o acesso aos dados é feito para que passe a realizar uma conexão com um servidor de modo que meu cliente tenha acesso aos dados não só no negócio como também em casa.

Essa aplicação foi o primeiro sistema que desenvolvi e até agora não trabalhei com banco de dados remoto em um servidor web, estou meio perdido quanto a como encontrar um servidor, minhas dúvidas são as seguintes:

1 - Existem servidores web que existem unicamente para banco de dados? ( mysql, postgree, etc…)

2 - Como funciona a criação do banco? Utilizaria algum SGBD como o SQL Server para criar o banco e as tabelas ou utilizaria alguma ferramenta do próprio servidor?

Obrigado pela atenção, abraços!

Geralmente o host alugado vem com algum banco de dados,então você usaria alguma ferramenta para editar esse banco(MySQL workbench,phpMyAdmin,etc),bastando você conectar no endereço do banco ,com login e senha do mesmo.
Na aplicação é a mesma coisa.
Porém acho que por padrão o mysql por exemplo,bloqueia conexão fora do host,então você teria que liberar essa conexão…
Um host que você pode instalar MySQL e usar a vontade é o openshift( https://www.openshift.com/ ) se você quiser brincar um pouco…
Alem disso você pode instalar o banco na sua maquina de casa,e liberar o acesso via um No-IP,por exemplo.

Slow17 obrigado pela resposta.

Quando eu pago pelo serviço de host do meu banco, nesse servidor é possível ter vários usuários utilizando a mesma conta só que cada um com seu banco diferente?

Como funciona o acesso de vários usuários? ( no caso esses usuários seriam outros clientes, para os quais eu vendo o meu sistema)

Cada host tem sua especificação, alguns permitem mais de um banco de dados.