Como atualizar um JLabel em um Frame por uma classe Java?

Você sabe o que é:

• Escopo de variáveis?
• Modificadores de acesso?
• Métodos assessores?

E sabe como cada modificador de acesso funciona?

Sim, inclusive eu alterei uns dos JLabel para public, mas mesmo assim não funciona

Peao_Branco1.setVisible(false);

Peao_Branco1 é um JLabel e ta como public na Interface, porém não funciona esse código na classe

Alguns pontos:
Se você tem um JLabel declarado assim

public JLabel Peao_Branco1;

Você já está fazendo coisa errada.
Caso você seguisse a convenção javaBeans, saberia que apenas classes levam a primeira letra maiúscula e que nomes de variáveis e atributos começam, sempre, com letras minúsculas (salvo quando se trata de uma constante, mas aí é outra coisa). Além disso, nomes compostos seguem o padrão CamelCase e não utilizam-se de hífen ou underline para serem unidos.

Especificamente falando sobre o problema.
Qual a necessidade de ter um objeto externo manipulando os atributos desta classe?
Caso a razão seja válida, você precisa se recordar que só conseguirá fazer qualquer coisa se a instância em que está promovendo alterações seja a mesma que está em execução.
Além disso, você deveria utilizar os métodos assessores e não setar diretamente o modificador do JLabel para public.
Poste o código.

Poderia usar o padrão Observer/Observable:

class Item { // extends Observable
  String nome;
  Observable observable;
  public void adicionarObservador(observer) {
    observable.addObserver(observer);
  }
  public void atribuirNome(nome) {
    if (!Objects.equals(this.nome, nome)) {
      this.nome = nome;
      observable.setChanged();
      observable.notifyObservers(this);
    }
  }
}

class Janela extends JFrame implements Observer {
  List itens;
  List labels;
  void atribuirItens(itens) {
    for (item : this.itens)
      item.removerObserver(this);
    this.itens = itens;
    for (item : this.itens)
      item.adicionarObserver(this);
    atualizarLabels();
  }
  void update(Observable o, Object arg) {
    Item item = (Item) arg;
    Label label = labels.get(itens.indexOf(item));
    label.setVisible(item.obterNome() != null);
    label.setText(item.obterNome());
  }
}