A API de um sistema é como uma forma de se conectar a esse sistema. É como se os desenvolvedores de um certo aplicativo te dissessem: “Olha, toma aqui as funções que o meu sistema oferece e faça o que quiser com elas”.
Por exemplo, a API do Gmail. Usando ela, vc poderia fazer um simples programa de console enviar um Gmail pra qualquer pessoa usando os métodos que a API te oferece.
Outro exemplo: Vamos supor que você esteja fazendo um site em português, mas quer que pessoas do mundo inteiro possam usa-lo. Você vai precisar traduzi-lo. Então, você pode passar semanas, meses e anos implementando um sistema de tradução eficiente para que você não precisasse reescrever todas as páginas em todas as linguagens que o seu site oferece suporte, ou você pode simplesmente usar a API do Google Tradutor.
Eu entendo o que você quer dizer, mas nesse caso não teria outra forma de fazer sem usar uma API.
Vc precisará fazer isso do lado do servidor. Vc conhece algo de programação para Web além da parte da “casca”? Vc precisa aprender alguma tecnologia para servidor. PHP acho que é a mais acessível para iniciantes, apesar de não gostar. Hoje a moda é Node.js. Java para Web é poderosíssimo, mas adentrar no ecossistema não é fácil. Se quiser, estou preparando aulas e material sobre isso, nível beabá mesmo.