Bom, preciso construir um sistema que funcionará para web(site) e para mobile(aplicativo). O que preciso fazer para atender as duas plataformas diferentes é criar uma API, para permitir o consumo de ambas as partes, sem acessar o banco diretamente.
A minha dúvida é mais voltada para o sistema web que será construído: posso criar uma API que rode do lado do projeto web? tipo, eu estou criando a API agora(em laravel), e no mesmo projeto eu posso criar o sistema web(também em laravel)? ou são dois projetos que devem ser feitos separadamente?(obs: as duas aplicações, web e API serão feitas em laravel).
Outra dúvida é sobre a hospedagem. O projeto atual está rodando na Hostgator. No caso de serem dois projetos diferentes, eu posso subir os 2 para a mesma hospedagem?
Você pode fazer as duas e como o sistema proposto pelo Laravel as rotas são diferentes pode ser utilizado tranquilamente, afinal a parte do banco de dados já está feita ali e pode ser a mesma (deve ser a mesma) para API.
Não precisa ser dois projetos inclusive porque já pensou a duplicação de código? isso é inviável, então faça um projeto só para Web e API.
Para Web a parte de autenticação já está pronta, para API precisa instalar o Passport se sua versão suportar ou instalar pacote de terceiros.